数据降维（Dimensionality Reduction）：维度灾难与降维技术的几何本质(数据降维的常用方法有哪些?)
在机器学习实践中，常常面临一个普遍而棘手的问题：过拟合！模型在训练集上表现出色，却在测试集中泛化能力不足。
为了解决这一问题，曾引入正则化技术，并取得了很好的效果。
但接下来，我们将要讨论另一条同样重要却更为根本的路径——降维。
文章速览
ARITCLE CONTENTS
PART .01 >>>
过拟合现象
PART .02 >>>
“维度灾难”
PART .03 >>>
降维的三大方法
01
过拟合现象
机器学习中的知识诅咒
在深入降维之前，首先需要理解机器学习中最经典的现象：过拟合。
模型过度迎合训练数据中的细节与噪声。
导致其决策边界变得异常复杂，失去了捕捉数据低效普遍规律的能力。
其结果就是，训练误差可能极低，但泛化误差（在未知数据上的误差）却可能高得惊人。
对抗过拟合，通常有三大策略：
1. 增加数据量：最直接有效的方法，但往往需要高昂的成本。
2. 正则化技术：过在损失函数中增加对模型复杂度的惩罚项，限制模型的参数空间（如岭回归，Lasso回归）。
3. 降维技术：通过减少特征数量来降低模型的复杂度，这也是本文要深入探讨的主题。
那么，高维度本身为何会成为“祸源”呢？
02
维度灾难
高维空间的几何悖论
“维度灾难”一词，精准地描述了在高维空间中机器学习模型所面临的根本困境。
它并非是指计算复杂度的增加，而是指数据结构的极度稀疏与分布畸变。
这与我们在低维空间中的几何直觉是背道而驰的。以下是两个经典的例子：
超立方体与内切超球体
在高维空间中，单位超立方体内切球的体积占比趋近于0。
这意味着数据点更多地分布在立方体的“角落”，而非中心区域，导致数据稀疏且分布不均匀。
超球体的“壳层”现象
在高维单位球中，一个任意薄的球壳（环形带）的体积占比会趋近于1。
即，几乎所有“体积”都集中在表面，内部几乎是“空”的。
这再次印证了高维数据的稀疏性和分布特性与低维直觉完全不同。
这两个例子揭示了维度灾难的核心：
在高维空间中，数据点不再“稠密”，而是变得极度稀疏，并且以一种反直觉的方式（集中在边界或壳层）不均匀分布。
这使得任何基于“邻近”或“密度”的算法都变得异常困难，因为“大多数地方都是空的”。
模型极易捕捉到这些稀疏样本分布中的偶然噪声模式，从而导致过拟合。
03
降维方法
如何对抗维度灾难？
既然高维是症结，降维便是药方。降维方法根据其哲学与技术的不同，可分为三大类：
直接降维：特征选择
这是最直观的方式——根据领域知识或统计指标，从原始 个特征中，直接选择或保留 个重要特征，丢弃其余 个。
这种方法可以人工经验选择，也可以通过算法（如Lasso回归）自动实现。
例如，Lasso回归通过L1正则化将不重要的特征系数压缩至零，天然实现了特征选择。
此法简单高效，但风险在于可能丢弃特征间蕴藏的交互信息。
线性降维：寻求最优投影
线性降维旨在通过一个线性变换，将原始高维数据投影到一个有意义的低维子空间上，并尽可能保留关键信息。
🤗 主成分分析（PCA）：最经典和重要的方法，下一期重点讲解。
PCA通过寻找数据方差最大的方向（主成分）进行投影，旨在用最少的信息损失保留最多的数据变异性。
它是理解数据结构、去除噪声相关的强大工具。
🤗 多维尺度分析（MDS）：其核心目标是在保持样本间距离不变的前提下进行降维。当距离采用欧氏距离时，MDS与PCA在本质上等价。
非线性降维：流形学习
假设高维数据实际上分布在一个潜在的低维流形（Manifold）上，就像是一张揉皱的纸（高维观测）蕴藏着平坦的内在结构（低维流形）。
此时，流形学习的目标就是发现并展开这个低维结构。
🤗 等度量映射（Isomap）：摒弃了高维空间中的直线距离（欧氏距离），转而计算并保持数据在流形曲面上的真实距离（测地线距离），然后进行降维映射。
🤗 局部线性嵌入（LLE）：假设了每个数据点都可以由其最近邻的线性组合来重构。
降维时，它不再保持全局距离，而是尽力保持每个局部邻域内这种线性重构关系。
这三种方法构成了一个从简单到复杂、从全局线性到局部非线性的完整降维技术谱系。
结语
维度灾难揭示了高维空间的几何悖论，而降维技术则是我们对抗这一悖论的智慧结晶。
从直接特征选择到复杂的流形学习，降维不仅仅是技术操作，更是我们对数据本质理解的深化。
注：文章中未声明图片均来源于互联网
